存款人死亡后，其存款的处理方式如下：
合法继承人申请办理继承权证明书
合法继承人需向当地公证处（或县、市人民法院）申请办理继承权证明书，以证明其身份和有权提取该项存款。
如果继承权发生争执，应由人民法院进行判处，银行凭人民法院的判决书、裁定书或调解书办理过户或支付手续。
国外华侨、中国血统外籍人和港澳同胞的处理
对于在国外的华侨、中国血统外籍人和港澳同胞，他们在国内银行的存款或委托银行代为保管的存款，其合法继承人在国内者，可凭原存款人的死亡证向当地公证处申请办理继承权证明书，银行凭此办理存款的过户或支付手续。
定居国外的外侨和外国公民的处理
在我国定居的外国公民（包括无国籍者）在我国银行的存款，其存款过户或提取手续与我国公民相同，需按照上述规定办理。
与我国订有双边领事协定的外国侨民，应按协定的具体规定办理。
银行的角色与责任
银行在存款人死亡后，会等待合法继承人主动前来查询并提供相关证明文件，如死亡证明、亲属关系证明等，然后按照规定的程序协助其办理存款的继承手续。
如果继承人未及时出现，银行不会将存款据为己有或无限期搁置，但也不会主动通知家属，除非通过其他渠道得知存款人去世的信息。
无法定继承人或无遗嘱的情况
如果存款人死亡后无法定继承人又无遗嘱，经当地公证机关证明，属全民所有制企业事业单位、国家机关、群众团体的职工，其存款上缴国库收归国家所有；属集体所有制企业事业单位的职工，其存款可转归集体所有。这些存款不计利息。
建议
家属应主动查询：家属应尽快到银行查询已故存款人的存款情况，并提供必要的证明文件以办理继承手续。
及时通知银行：如果家属知道存款人的死亡信息，应尽快通知银行，以便银行及时启动继承手续。
法律咨询：在处理此类问题时，建议咨询专业律师，以确保按照法律规定和程序办理继承手续。